第 五 节 隐函数的求导公式

教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。

教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。

教学内容：

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

=0

(1)

求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理

1

设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，, ，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有

(2)

公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数代入，得恒等式

,

其左端可以看作是的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

由于连续，且，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内，于是得

如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再一次求导，即得

例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。

解 设，则,.因此由定理1可知，方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当=0时，的隐函数。

下面求这函数的一阶和二阶导数

=， ;

=

。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程

()=0 (3)

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程()=0在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

=,=.

(4)

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.

由于

(, )≡0,

将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得

+=0, +=0。

因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内≠0，于是得

=,=。

例2

设，求

解 设 () =，则=2, =.应用公式(4)，得

=。

再一次对求偏导数，得

二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组

(5)

这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。

隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):

=

在点不等于零，则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

(6)

这个定理我们不证.

例3

设，求,,和.

解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。

将所给方程的两边对求导并移项，得

在的条件下，

将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得

小结：

本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确定的隐函数的导数。