在统计学中，不确定性的传播(或误差的传播)是变量的不确定性(或误差，更具体地说是随机误差)对基于它们的函数的不确定性的影响。当变量是实验测量值时，由于测量限制(如仪器精度)，它们具有不确定性，这种不确定性由于函数中变量的组合而传播。

一个比较简单的例子：使用温度计测量温度，单位为摄氏度，假设测得20度，仪器误差为10%，即测量结果为20 +- 0.2 度。如何用华氏度表示这次测量的不确定性，即为简单的误差传播应用（单变量的误差传播）。

对于多个变量，维基百科中给出了误差传播定律的一般形式。

常见的双变量

对于加减法：

对于乘法：

对于除法：

下面是测试代码，可以用来对比传播公式的结果和蒙特卡洛的模拟结果。

clc;clear

N = 1e5;

mean_x = 100;

std_x = 2;

mean_y = 400;

std_y = 80;

x = mean_x + randn(N,1) * std_x;

y = mean_y + randn(N,1) * std_y;

histogram(1./y)

disp(['乘法：蒙特卡洛的结果是',num2str(std(x.*y))])

disp(['乘法：误差传播公式的结果是',num2str( sqrt((mean_x * std_y).^2 + (mean_y * std_x).^2 ) )])

disp(['除法：蒙特卡洛的结果是',num2str( std(x./y) )])

disp(['除法：误差传播公式的结果是',num2str(sqrt( (std_x / mean_y)^2 + std_y^2 * (mean_x/(mean_y^2))^2) )])

histogram(x./y)

值得注意的是，当std_y较小时，除法的两个计算结果是吻合的。但当std_y较大时，除法的两个计算结果相差较大。该现象在乘法中并未出现。究其原因发现，x/y（正态分布除以正态分布）不一定是正态分布。当std_y较小时，分母趋近于一个常数，故最终结果还是正态分布。当std_y较大时，最终结果不再是正态分布，故不是足够大的样本量不足以体现标准差。

三变量

同理，推导出三变量的误差传递公式，并代码测试

%% 三变量

clc;clear

N = 1e7;

mean_x = 100;

std_x = 2;

mean_y = 400;

std_y = 20;

mean_z = 200;

std_z = 2;

x = mean_x + randn(N,1) * std_x;

y = mean_y + randn(N,1) * std_y;

z = mean_z + randn(N,1) * std_z;

histogram(x.*y./z)

disp(['蒙特卡洛的结果是',num2str(std(x.*y./z))])

disp(['误差传播公式的结果是',num2str( sqrt((mean_y / mean_z)^2 * std_x^2 + (mean_x / mean_z)^2 * std_y^2 + (mean_x * mean_y / mean_z^2)^2 * std_z^2 ) )])

参考链接

误差传递公式 - heaventian - 博客园 (cnblogs.com)

误差传播 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

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